Antiderivación

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=2 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B>C á l c u l o   2 1</B><FONT SIZE="4" COLOR="#FFCC66" FACE="Bell MT" ><B> </B></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFCC" FACE="Bell MT" >   </FONT><B> </B> |   <A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Cálculo 21"><U>Home</U></A>  |  <A HREF="id98.htm" TARGET="_top" TITLE="Contenido"><U>Contenido</U></A>  |  <A HREF="id341.htm" TARGET="_top" TITLE="Introducción al cálculo integral"><U>Cálculo integral</U></A>  |   </div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" width=160 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B> <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3073775660"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </B></div> <bR> </td> <td valign="top" height=456 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B>Antiderivación</B></div> <bR> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:block" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3926688482" data-ad-format="auto" data-full-width-responsive="true"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <div>  <A NAME="antiderivación"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Antiderivación</div> <div> <B>Antide</B><B>riv</B><B>ación:</B><FONT SIZE="4" COLOR="#111111" FACE="Georgia" > </FONT></div> <div> La antiderivación o antidiferenciación es una operación que se realiza sobre funciones. La antiderivación es la operación inversa de la diferenciación. </div> <div> Así como es común en el cálculo diferencial transformar una función dada mediante la operación "derivar" y obtener de esta forma otra función que es la <I>derivada </I>de dicha función, de modo similar se aplica el operador "antiderivación" para obtener la <I>antiderivada</I> de una función dada.</div> <div>  <A NAME="definición_de_antiderivada"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Definición de antiderivada</div> <div> <B>Definición de antiderivada:</B></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B><IMG SRC="29f2d9470.gif" border=0 width="729" height="71" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <bR> <div> <B>Ejemplo ilustrativo 1:</B></div> <div> Sean las funciones, definidas ambas en todo el conjunto de los números reales:</div> <div> <IMG SRC="29f46c1c0.gif" border=0 width="364" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> se tiene que</div> <div> <IMG SRC="29f58b210.gif" border=0 width="395" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> de donde, y de acuerdo con la definición anterior de antiderivada</div> <div> <IMG SRC="29f61d180.gif" border=0 width="285" height="24" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Sin embargo, las siguientes funciones también son antiderivaadas de <I>f </I>:</div> <div> <IMG SRC="29f7871c0.gif" border=0 width="391" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Este ejemplo sugiere que una función <I>f </I>puede tener un número infinito de antiderivadas, pero conservando una estructura común. Veamos el siguiente teorema.</div> <div>  <A NAME="teorema_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Teorema 1</div> <div> <B>T</B><B>eor</B><B>ema. </B><I>Antiderivada general</I><B>.</B></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B><IMG SRC="29f8617f0.gif" border=0 width="865" height="127" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <bR> <div> <B>Ejemplo ilustrativo 2:</B></div> <div> Aplicando la regla de la cadena para la derivación se tiene que</div> <div> <IMG SRC="29f9af210.gif" border=0 width="175" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> de lo anterior se deduce que</div> <div> <IMG SRC="29fa071c0.gif" border=0 width="519" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> y del teorema anterior concluimos que la familia de todas las antiderivadas de </div> <div> <IMG SRC="29fb7d1c0.gif" border=0 width="125" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> está dada por</div> <div> <IMG SRC="29fc891c0.gif" border=0 width="137" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> donde <I>C</I> es una constante arbitraria.</div> <div> En resumen, si conocemos una antiderivada particular, <I>F</I>,  de una función <I>f </I>basta con adicionar a la fórmula de la función <I>F </I>la<I> </I>constante <I>C</I> para representar la familia de todas las antiderivadas de <I>f.</I></div> <div>  <A NAME="notación_de_leibniz_para_la_antiderivada"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Notación de Leibniz para la antiderivada</div> <div> <B>Notación de Leibniz para la antiderivada:</B></div> <div> <B><IMG SRC="29fe8c910.gif" border=0 width="908" height="145" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#111111" FACE="Georgia" >En (</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#FF0000" FACE="Georgia" >2</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#111111" FACE="Georgia" >) la función que se va a <I>integrar</I>, </FONT><I>f </I>(<I>x</I>), recibe el nombre de <I><B>integrando</B></I>. La diferencial <I>dx</I> establece la <I>variable de integración</I>. Esta variable de integración, esto es, la variable independiente de la función que se obtiene en el proceso de la integración, puede ser una letra distinta de <I>x</I>; por ejemplo, en las aplicaciones es común utilizar la letra <I>t</I>, que denota el tiempo.</div> <div> La antiderivación es la operación que se aplica para determinar el conjunto de todas las funciones que tiene una derivada dada.</div> <div> La expresión <I><B>integral indefinida</B></I> es sinónimo de antiderivada. Y la operación de antidiferenciación se denomina también <I><B>integración indefinida</B></I>. </div> <div>  <A NAME="reglas_básicas_de_integración"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Reglas básicas de integración</div> <div> <B>Reglas básicas de integración:</B></div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#339900" FACE="Georgia" ><B>D</B></FONT><I>e cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de integración</I>. <I><B>La integración directa</B></I> es aplicable cuando identificamos la función primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.</div> <div>  <A NAME="p1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="1" COLOR="#FFFFFF" FACE="Georgia" >p1</FONT></div> <div> <IMG SRC="2a208c210.gif" border=0 width="396" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Esta propiedad indica que podemos sacar un factor <I><B>constante</B></I> de la integral.</div> <div>  <A NAME="p2_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>p2</div> <div> <IMG SRC="2a21113f0.gif" border=0 width="529" height="63" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="p3_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>p3</div> <div> <IMG SRC="2a227d3f0.gif" border=0 width="893" height="63" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="p4_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>p4</div> <div> <IMG SRC="2a23a3630.gif" border=0 width="675" height="99" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="p5"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>p5</div> <div> <IMG SRC="2a2483210.gif" border=0 width="131" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="p6_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="1" COLOR="#FFFFFF" FACE="Georgia" >p6</FONT></div> <div> <IMG SRC="2a25ac470.gif" border=0 width="684" height="71" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="p7_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>p7</div> <div> <IMG SRC="2a26f82c0.gif" border=0 width="248" height="44" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="p8"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>p8</div> <div> <IMG SRC="2a2801210.gif" border=0 width="513" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>                                                                                                    <FONT SIZE="1" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >  <A NAME="p10_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></FONT>p10</div> <div> <IMG SRC="2a2ad4210.gif" border=0 width="212" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">             <IMG SRC="2a2cd3210.gif" border=0 width="211" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> </div> <div> <FONT SIZE="1" COLOR="#FFFFFF" FACE="Georgia" > p11</FONT><FONT SIZE="1" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >                                                                                          </FONT> <A NAME="p12_1_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="1" COLOR="#FFFFFF" FACE="Georgia" >12</FONT></div> <div> <IMG SRC="2a2dd7210.gif" border=0 width="215" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">            <IMG SRC="2a2fe3210.gif" border=0 width="227" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  p13 <FONT SIZE="1" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >                                                                                        </FONT> <A NAME="p14_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>p14</div> <div> <IMG SRC="2a30f7210.gif" border=0 width="247" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">     <IMG SRC="2a3103210.gif" border=0 width="259" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B>Ejemplo ilustrativo 3:</B></div> <div> <IMG SRC="2a325d6c0.gif" border=0 width="605" height="108" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="condiciones_iniciales_y_soluciones"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Condiciones iniciales y soluciones particulares.</div> <div> <B>Condiciones iniciales y soluciones particulares.</B></div> <div> Como ya sabemos la antiderivada <I>y</I> de una función <I>y</I>' = <I>f </I>(<I>x</I>) es un conjunto de funciones de la forma <I>y</I> = <I>F</I>(<I>x</I>) + <I>C</I>. En las aplicaciones de la integración (antiderivación) se suele dar suficiente información ,  por ejemplo un valor particular de <I>y</I> = <I>F</I>(<I>x</I>) para algún valor de la variable independiente <I>x </I>(<I><B>condiciones iniciales</B></I>), que permite obtener una <I><B>antiderivada particular</B></I> de la función dada que satisface también estas condiciones iniciales.</div> <div> <B>Ejemplo ilustrativo 3:</B></div> <div> Hallar la antiderivada de la función <I>f </I>(<I>x</I>) = 6<I>x </I>+ 7  que satisface la condición inicial <I>y</I> = 2 cuando <I>x</I> = 3</div> <div> Solución:</div> <div> <IMG SRC="2a335fe90.gif" border=0 width="863" height="233" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div>  <A NAME="ejercicios"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Ejercicios</div> <div> <B>Ejercicios</B></div> <bR> <div> <B>A </B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >continuación los e</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#003333" FACE="Georgia" >nunciados de los ejercicios (pulse sobre el ícono de la imagen <IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> o del video <IMG SRC="265418180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> correspondiente para que observe la solución que se da paso a paso).</FONT></div> <div> <B>E</B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >n los ejercicios </FONT>1<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > a </FONT>12<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > efectúe las operaciones de antiderivación que se indican, aplicando las propiedades correspondientes en cada caso. Verifique la respuesta obtenida mediante derivación:</FONT></div> <bR> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="0" CELLSPACING="0" WIDTH="833" BORDERCOLORLIGHT="#000000" BORDERCOLORDARK="#FFFFFF" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 236 ><NOBR><div> <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B><IMG SRC="2a4989210.gif" border=0 width="137" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></FONT><A HREF="#e1" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>   </div> <div> <IMG SRC="2a6297340.gif" border=0 width="151" height="52" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#e4" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <bR> <div> <IMG SRC="2a65b4370.gif" border=0 width="180" height="55" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#e7" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265418180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <IMG SRC="2a68dc270.gif" border=0 width="220" height="39" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#e10" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="2a4a65210.gif" border=0 width="101" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#e2" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>   </div> <div> <IMG SRC="2a63c1210.gif" border=0 width="193" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#e5" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <IMG SRC="2a666f330.gif" border=0 width="111" height="51" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#e8" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <IMG SRC="2a6bcd330.gif" border=0 width="205" height="51" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#e11" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#e3" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="2a4b61370.gif" border=0 width="97" height="55" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A><A HREF="#e3" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>   </div> <div> <IMG SRC="2a64702d0.gif" border=0 width="112" height="45" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#_p13_" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>  </div> <div> <IMG SRC="2a678b410.gif" border=0 width="139" height="65" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#e9" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265418180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <B><IMG SRC="2a6eef340.gif" border=0 width="239" height="52" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B><A HREF="#e12" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265418180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div>  <iframe width="853" height="480" src="https://www.youtube.com/embed/Szu97wA2KdA" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>  </div> <div>  <A NAME="problemas"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="1" COLOR="#FFFFFF" FACE="Georgia" >Problemas</FONT></div> <div> <B>Problemas de aplicación</B></div> <bR> <div> <B>A </B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >continuación los e</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#003333" FACE="Georgia" >nunciados de los problemas de aplicación (pulse sobre el ícono de la imagen <IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> o del video <IMG SRC="265418180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"> correspondiente para que observe la solución que se da paso a paso).</FONT></div> <bR> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >1.</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" ><B>  </B></FONT>El punto (3, 2) está en una curva, y en cualquier punto (<I>x</I>, <I>y</I>) de la curva la recta tangente tiene una pendiente igual a <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >2<I>x</I> </FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >-</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" > 3</FONT>. Determine una ecuación de la curva. <FONT SIZE="4" COLOR="#003333" FACE="Georgia" ><A HREF="#1p" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></FONT></div> <bR> <div> <IMG SRC="2a71194c0.gif" border=0 width="793" height="76" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#2p" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <IMG SRC="2a783f470.gif" border=0 width="831" height="71" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><A HREF="#3p" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265318180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <bR> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >4.</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" ><B>  </B></FONT>La eficiencia de un trabajador está expresada como un porcentaje. Por ejemplo, si la eficiencia de un obrero en un momento particular está dada como 70%, entonces el trabajador se desempeña  a un 70% de su potencial máximo. Suponga que <I>E</I>% es la eficiencia de un trabajador a las <I>t</I> horas después de iniciar su trabajo, y que la tasa a la que <I>E</I> cambia es (35 <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >- </FONT>8<I>t</I>)% por hora. Si la eficiencia del trabajador es de 81% después de trabajar 3 horas, determine su eficiencia después de haber trabajado (<FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" >a</FONT>) 4 h  y  (<FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" >b</FONT>) 8 h. <FONT SIZE="4" COLOR="#003333" FACE="Georgia" ><A HREF="#4p" TITLE="Antiderivación"><U><IMG SRC="265418180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></FONT></div> <bR> <div> 5.<FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" ><B>  </B></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >Una compañía ha determinado que la función de costo marginal para la produción de cierta mercancia está dada por</FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2a7bbb2c0.gif" border=0 width="187" height="44" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> donde <I>C</I>(<I>x</I>) dólares es el costo de producción de <I>x</I> unidades de mercancía. Si los gastos generales son de $250, ¿cuál es el costo de producción de 15 unidades?</div> <bR> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >6.</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" ><B>  </B></FONT>El volumen de agua de un tanque es <I>V</I> centímetros cúbicos cuando la profundidad del agua es de <I>h</I> metros. Si la tasa de variación de <I>V</I> con respecto a h es</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2a7c85210.gif" border=0 width="133" height="33" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> determine el volumen de agua en el tanque cuando la profundidad es de 3 metros.</div> <bR> <div> 7.<FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" ><B>  </B></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >Un coleccionista de arte compró por $1 000 un cuadro de un artista cuya obra aumenta de valor respecto al tiempo y de acuerdo a la fórmula</FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="2a7da32c0.gif" border=0 width="163" height="44" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> donde <I>V</I> dólares es el valor previsto de estos cuadros t años después de su compra. Si esta fórmula fuese válida para los siguientes 6 años, ¿cuál sería el valor previsto del cuadro 4 años después?</div> <bR> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >8.</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" ><B>  </B></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#9900FF" FACE="Georgia" ><I>Crecimiento de árboles.</I></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" ><B> </B></FONT>Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto después de 9 años de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es, aproximadamente, <I>dh/dt</I> = 1.5<I>t</I>+5, donde <I>t</I> es el tiempo en años y <I>h</I> es la altura en centímetros. Las plantas de semillero miden 12 centímetros de altura cuando se plantan (<I>t</I> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >=</FONT> <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >0</FONT>).</div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" >a</FONT>)  Determinar la altura después de <I>t</I> años.</div> <div> b<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >)  ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se venden?</FONT></div> <bR> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >9.</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" ><B>  </B></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#9900FF" FACE="Georgia" ><I>Crecimiento de población.</I></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" ><B> </B></FONT>La tasa de crecimiento <I>dP/dt</I> de una población de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de <I>t</I>, donde <I>P</I> es el tamaño de la población y <I>t</I> es el tiempo en días. <IMG SRC="2a7e591c0.gif" border=0 width="89" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">. El tamaño inicial de la población es de 500. Después de un día la población ha crecido hasta 600. Estimar el tamaño de la población después de 7 días.</div> <bR> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >10.</FONT><B>  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#9900FF" FACE="Georgia" ><I>Movimiento vertical.</I></FONT><B> </B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >Un globo aerostático, que asciende verticalmente con una velocidad de 16 pies por segundo, deja caer una bolsa de arena en el instante en el que está a 64 pies sobre el suelo.</FONT></div> <div> a<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >)  ¿En cuántos segundos llegará la bolsa al suelo?</FONT></div> <div> b<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >)  ¿A qué velocidad esta bolsa hará contacto con el suelo?</FONT></div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B>Soluciones de los ejercicios</B></div> <div>  <A NAME="e1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>E1</div> <div> <B><IMG SRC="2a35d1390.gif" border=0 width="209" height="57" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> Los <A HREF="#reglas_básicas_de_integración" TITLE="Antiderivación"><U>teoremas dados</U></A> no dicen nada respecto a integrar un producto de funciones, sin embargo, al efectuar el producto indicado, se transforma el integrando en una suma de términos y ahora se puede obtener la antiderivada aplicando las propiedades <A HREF="#p2_1" TITLE="Antiderivación"><U>P2</U></A> y <A HREF="#p6_1" TITLE="Antiderivación"><U>P6</U></A>:</div> <div> <IMG SRC="2a3a00a90.gif" border=0 width="768" height="169" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="e2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>E2</div> <div> <IMG SRC="2a3bd1390.gif" border=0 width="209" height="57" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Como se puede observar, la variable del integrando es distinta a la variable de integración y tampoco depende ella, en este caso se toma al integrando como una constante y para hallar la antiderivada se aplica la propiedad <A HREF="#p4_1" TITLE="Antiderivación"><U>P4</U></A>:</div> <div> <IMG SRC="2a3c1c630.gif" border=0 width="284" height="99" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="e3"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>E3</div> <div> <IMG SRC="2a3fd14c0.gif" border=0 width="209" height="76" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Se transforma el integrando mediante las propiedades de la radicación y la potenciación y luego se usa la "regla de la potencia para la integración" <A HREF="#p6_1" TITLE="Antiderivación"><U>P6</U></A>:</div> <div> <B><IMG SRC="2a4084890.gif" border=0 width="900" height="137" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="e4"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <div> <IMG SRC="2a43d14c0.gif" border=0 width="209" height="76" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">4</div> <div> Se transforma algebraicamente el integrando luego, para integrar, se aplican las propiedades <A HREF="#p3_1" TITLE="Antiderivación"><U>P3</U></A> y <A HREF="#p6_1" TITLE="Antiderivación"><U>P6</U></A>:</div> <div> <B><IMG SRC="2a4179270.gif" border=0 width="889" height="295" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="e5"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>E</div> <div> <IMG SRC="2a48d1390.gif" border=0 width="209" height="57" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">5</div> <div> Al integrar, se aplican consecutivamente los teoremas de integración <A HREF="#p2_1" TITLE="Antiderivación"><U>P2</U></A>, <A HREF="#p1" TITLE="Antiderivación"><U>P1</U></A>, <A HREF="#p10_1" TITLE="Antiderivación"><U>P10</U></A> y <A HREF="#p9_1" TITLE="Antiderivación"><U>P9</U></A>:</div> <div> <B><IMG SRC="2a4449840.gif" border=0 width="841" height="132" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="e6"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>E6</div> <div> <B><IMG SRC="2a57d1470.gif" border=0 width="209" height="71" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> Con un poco de álgebra y ap<FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" >lic</FONT>ando dos identidades trigonométricas básicas transformamos el integrando. Para integrar usamos la propiedad <A HREF="#_p13_" TITLE="Antiderivación"><U>P13</U></A>:</div> <div> <IMG SRC="2a5873790.gif" border=0 width="627" height="121" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="e7"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>E7</div> <div> <IMG SRC="2a5ad14f0.gif" border=0 width="209" height="79" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Aplicando algunas identidades trigonométricas básicas y algo de algebra operativa se transforma el integrando. Para integrar se consideran los teoremas <A HREF="#p2_1" TITLE="Antiderivación"><U>P2</U></A>, <A HREF="#p5" TITLE="Antiderivación"><U>P5</U></A> y <A HREF="#p9_1" TITLE="Antiderivación"><U>P9</U></A>: <A HREF="https://youtu.be/Szu97wA2KdA?t=20s" TARGET="_top" TITLE="https://youtu.be/Szu97wA2KdA?t=20s"><U>Vea la solución en video <IMG SRC="265418180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>.</div> <div>  <A NAME="e8"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>E8</div> <div> <IMG SRC="2a5cd1490.gif" border=0 width="209" height="73" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Se factoriza la suma de cubos en el numerador y luego se simplifica. Al integrar aplicamos las propiedades <A HREF="#p3_1" TITLE="Antiderivación"><U>P3</U></A>, <A HREF="#p6_1" TITLE="Antiderivación"><U>P6</U></A> y <A HREF="#p4_1" TITLE="Antiderivación"><U>P4</U></A>:</div> <div> <IMG SRC="2a5d28d10.gif" border=0 width="808" height="209" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="e9"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>E9</div> <div> <IMG SRC="2a5fd1590.gif" border=0 width="209" height="89" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Se expande el producto notable en el numerador, se expresa cada término del numerador sobre el mismo denominador, se exprezan los términos resultantes en forma de potencia y se procede a integrar teniendo presentes los teoremas <A HREF="#p3_1" TITLE="Antiderivación"><U>P3</U></A>, <A HREF="#p6_1" TITLE="Antiderivación"><U>P6</U></A> y <A HREF="#p4_1" TITLE="Antiderivación"><U>P4</U></A>: <A HREF="https://youtu.be/Szu97wA2KdA?t=3m55s" TARGET="_top" TITLE="https://youtu.be/Szu97wA2KdA?t=3m55s"><U>Vea la solución en video <IMG SRC="265418180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>.</div> <div>  <A NAME="e10"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>E10</div> <div> <IMG SRC="2a69dc3f0.gif" border=0 width="220" height="63" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Se transforma el integrando mediante las identidades trigonométricas. Al integrar se utilizan los teoremas <A HREF="#p3_1" TITLE="Antiderivación"><U>P3</U></A>, <A HREF="#p5" TITLE="Antiderivación"><U>P5</U></A>, <A HREF="#_p11_1" TITLE="Antiderivación"><U>P11</U></A> y <A HREF="#p12_1_1" TITLE="Antiderivación"><U>P12</U></A>:</div> <div> <IMG SRC="2a6a49690.gif" border=0 width="841" height="361" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="e11"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>E11</div> <div> <IMG SRC="2a6cd1490.gif" border=0 width="209" height="73" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Se transforma el integrando escribiendo cada término en el numerador sobre el mismo denominador; luego, se usan identidades y se simplifica. Para hallar la antiderivada, se utilizan las propiedades <A HREF="#p2_1" TITLE="Antiderivación"><U>P2</U></A>, <A HREF="#p1" TITLE="Antiderivación"><U>P1</U></A>, <A HREF="#_p13_" TITLE="Antiderivación"><U>P13</U></A> y <A HREF="#p10_1" TITLE="Antiderivación"><U>P10</U></A>:</div> <div> <IMG SRC="2a6d6b640.gif" border=0 width="875" height="356" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="e12"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>E12</div> <div> <IMG SRC="2a6fef4c0.gif" border=0 width="239" height="76" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Usando identidades trigonométricas se transforma el integrando. Se procede a integrar aplicando las propiedades <A HREF="#p1" TITLE="Antiderivación"><U>P1</U></A> y <A HREF="#p14_1" TITLE="Antiderivación"><U>P14</U></A>: <A HREF="https://youtu.be/Szu97wA2KdA?t=8m45s" TARGET="_top" TITLE="https://youtu.be/Szu97wA2KdA?t=8m45s"><U>Vea la solución en video <IMG SRC="265418180.jpg" border=0 width="24" height="24" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>.</div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B>Soluciones de los problemas</B></div> <div>  <A NAME="1p"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>1P</div> <div> <B><IMG SRC="2a70557f0.gif" border=0 width="853" height="383" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B><IMG SRC="2a75560f0.gif" border=0 width="342" height="271" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="2p"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>2p</div> <div> <B><IMG SRC="2a7271c70.gif" border=0 width="881" height="711" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B><IMG SRC="2a76ba8b0.gif" border=0 width="442" height="395" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="3p"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>3p</div> <div> <B><IMG SRC="2a7751090.gif" border=0 width="849" height="777" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B><IMG SRC="2a79007b0.gif" border=0 width="512" height="379" ALT="Imagen de Paintbrush" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="4p"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <bR> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >4.</FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" ><B>  </B></FONT>La eficiencia de un trabajador está expresada como un porcentaje. Por ejemplo, si la eficiencia de un obrero en un momento particular está dada como 70%, entonces el trabajador se desempeña  a un 70% de su potencial máximo. Suponga que <I>E</I>% es la eficiencia de un trabajador a las <I>t</I> horas después de iniciar su trabajo, y que la tasa a la que <I>E</I> cambia es (35 <FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >- </FONT>8<I>t</I>)% por hora. Si la eficiencia del trabajador es de 81% después de trabajar 3 horas, determine su eficiencia después de haber trabajado (<FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" >a</FONT>) 4 h  y  (<FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Georgia" >b</FONT>) 8 h. </div> <div> Solución - <FONT SIZE="4" COLOR="#339933" FACE="Georgia" >Juan Beltrán</FONT>:</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div>  <iframe width="853" height="480" src="https://www.youtube.com/embed/0CGshnReOIY" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>  </div> <div> 4p</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:336px;height:280px" data-ad-client="ca-pub-6266400581769473" data-ad-slot="1163033713"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <div>  <A NAME="calculo_integral"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Calculo integral</div> <div> | <A HREF="id538.htm" TARGET="_top" TITLE="Antiderivación"><U>Antiderivación</U></A> | <A HREF="id457.htm" TARGET="_top" TITLE="Área"><U>Área</U></A> | <A HREF="id458.htm" TARGET="_top" TITLE="La integral definida"><U>La integral definida</U></A> | <A HREF="id459.htm" TARGET="_top" TITLE="Propiedades de la integral definida"><U>Propiedades de la integral definida</U></A> |</div> <div> | <A HREF="id460.htm" TARGET="_top" TITLE="Teorema del valor medio para la integral"><U>Teorema del valor medio para la integral definida</U></A> | <A HREF="id461.htm" TARGET="_top" TITLE="Teoremas fundamentales del cálculo"><U>Teoremas fundamentales del cálculo</U></A> |</div> <div> | <A HREF="id462.htm" TARGET="_top" TITLE="Aplicaciones de la integral definida"><U>Aplicaciones de la integral definida</U></A> |</div> <div> | <A HREF="id466.htm" TARGET="_top" TITLE="Técnicas de integración"><U>Técnicas de integración</U></A> | <A HREF="id483.htm" TARGET="_top" TITLE="Tabla de integrales"><U>Tablas de integrales</U></A> | <A HREF="id484.htm" TARGET="_top" TITLE="Integración numérica"><U>Integración numérica</U></A> | <A HREF="id485.htm" TARGET="_top" TITLE="Integrales impropias"><U>Integrales impropias</U></A> |</div> <div> | <A HREF="id486.htm" TARGET="_top" TITLE="Miscelánea de ejercicios de cálculo inte"><U>Miscelánea1 de ejercicios de cálculo integral</U></A> |</div> <bR> </td> </tr></table></body>