Área

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=2 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B>C á l c u l o   2 1</B><FONT SIZE="4" COLOR="#FFCC66" FACE="Bell MT" ><B> </B></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFCC" FACE="Bell MT" >   </FONT><B> </B> |   <A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Cálculo 21"><U>Home</U></A>  |  <A HREF="id98.htm" TARGET="_top" TITLE="Contenido"><U>Contenido</U></A>  |  <A HREF="id341.htm" TARGET="_top" TITLE="Introducción al cálculo integral"><U>Cálculo integral</U></A>  |      </div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" width=160 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B> <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3073775660"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </B></div> <bR> </td> <td valign="top" height=456 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:block" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3926688482" data-ad-format="auto" data-full-width-responsive="true"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <bR> <div> <B>Área</B></div> <div> <U> <A NAME="_rea"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></U><B>Área: </B></div> <div> <B>Áre</B><B>a</B><B>:  </B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo (producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de un triángulo rectángulo es igual a "un medio del producto de los catetos". La trigonometría facilita una fórmula para hallar la medida de cualquier clase de triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman dichos lados". Debido a que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de su área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas. Para medir el área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método, que es el que vamos a estudiar a continuación.</FONT></div> <bR> <div> <IMG SRC="29b46b070.gif" border=0 width="875" height="263" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="20382cc80.gif" border=0 width="300" height="200" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> (fig.1)</div> <div> <B><IMG SRC="29b671c70.gif" border=0 width="881" height="199" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="203b2cc80.gif" border=0 width="300" height="200" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0">            <IMG SRC="203c2cc80.gif" border=0 width="300" height="200" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> (fig.2)                                                                     (fig.3)</div> <bR> <div> En la <FONT SIZE="4" COLOR="#00CC00" FACE="Georgia" >fig.2</FONT> la región poligonal tiene un área de <I>S</I><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Georgia" ><I>n</I></FONT> unidades cuadradas. Si <I>n</I> crece el número de rectángulos es mayor y el ancho de cada rectángulo es menor. En la <FONT SIZE="4" COLOR="#00CC00" FACE="Georgia" >fig.3</FONT> se ilustra este hecho. Se puede observar que el área de la región poligonal se aproxima más al área de la región <I>R</I>. Esto es, la suma de las medidas de las áreas de los rectángulos de la <FONT SIZE="4" COLOR="#00CC00" FACE="Georgia" >fig.3</FONT> está más cercana al número que queremos sea la medida del área de la región <I>R.</I></div> <div> <B><IMG SRC="29b97bab0.gif" border=0 width="891" height="171" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="definición"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>Definición</div> <div> <FONT SIZE="4" COLOR="#006600" FACE="Times New Roman" ><B>Definición de área de una región </B></FONT> <B>en el plano cartesiano, acotada por una curva, el eje</B><I><B>x</B></I><B> y las rectas </B></div> <div> <I><B>x</B></I><B> = </B><I><B>a</B></I><B>  y  </B><I><B>x </B></I><B>=</B><I><B> b</B></I><FONT SIZE="1" COLOR="#006600" FACE="Georgia" ><I><B> </B></I></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#006600" FACE="Times New Roman" ><B>:</B></FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B><IMG SRC="29bb602c0.gif" border=0 width="864" height="300" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <bR> <div> <B> <img src="HTMLobj-10732/aniGif.gif" border="0" align="bottom" width="550" height="14">  </B></div> <div> <B> <A NAME="sumatoria"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="1" COLOR="#FFFFFF" FACE="Georgia" >Sumatoria:</FONT></div> <div> <B>Sumatoria:</B></div> <div> <FONT SIZE="5" COLOR="#006600" FACE="Georgia" ><B>C</B></FONT>omo se ha visto, para definir el área de una región en el plano cartesiano, acotada por una curva, el eje<I>x</I> y las rectas <I>x</I> = <I>a</I>  y  <I>x </I>=<I> b</I>, se requiere hallar la suma de muchos términos; para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de <I>sumatoria</I>.</div> <div> <B><IMG SRC="29ac759d0.gif" border=0 width="885" height="413" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="propiedades_de_la_sumatoria_1_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="1" COLOR="#FFFFFF" FACE="Times New Roman" >Propiedades de la sumatoria</FONT></div> <div> <B>Propiedades de la sumatoria:</B></div> <div> <IMG SRC="29bf98c10.gif" border=0 width="664" height="449" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="ejercicios_resueltos"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFFF" FACE="Times New Roman" >Ejercicios resueltos</FONT></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B>Ejercicios resueltos</B></div> <div> <B>          E</B><FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" >n los ejercicios </FONT>1<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > a </FONT>3<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > halle la suma por medio de la definición de sumatoria. En los ejercicios </FONT>4<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > a </FONT>7<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > evalúe la suma que se indica utilizando las propiedades de la sumatoria. En los ejercicios </FONT>8<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > a </FONT>11<FONT SIZE="4" COLOR="#000000" FACE="Georgia" > evalúe el área de la región dada; emplee rectángulos inscritos o circunscritos según se indique. Para cada ejercicio trace una figura que muetsre la región y el i-ésimo rectángulo.</FONT></div> <div> <A HREF="#1" TITLE="Área"><U><IMG SRC="29c1673b0.gif" border=0 width="103" height="59" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>          <A HREF="#2" TITLE="Área"><U><IMG SRC="29c56c3b0.gif" border=0 width="108" height="59" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>           <A HREF="#3" TITLE="Área"><U><IMG SRC="29c9743b0.gif" border=0 width="116" height="59" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>          <A HREF="#4" TITLE="Área"><U><IMG SRC="29cc713b0.gif" border=0 width="113" height="59" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>           <A HREF="#5" TITLE="Área"><U><IMG SRC="29cf89380.gif" border=0 width="137" height="56" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#6" TITLE="Área"><U><IMG SRC="29d283380.gif" border=0 width="131" height="56" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A>          <A HREF="#7" TITLE="Área"><U><IMG SRC="29d60c380.gif" border=0 width="268" height="56" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#8_" TITLE="Área"><U><IMG SRC="29d7051c0.gif" border=0 width="773" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#9_" TITLE="Área"><U><IMG SRC="29db21190.gif" border=0 width="801" height="25" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#10" TITLE="Área"><U><IMG SRC="29df6c310.gif" border=0 width="876" height="49" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <div> <A HREF="#11" TITLE="Área"><U><IMG SRC="29e54b1c0.gif" border=0 width="843" height="28" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <B>S o l u c i o n e s </B></div> <div>  <A NAME="1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <div> <IMG SRC="29c3673b0.gif" border=0 width="103" height="59" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <B><IMG SRC="29c270cf0.gif" border=0 width="624" height="207" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <div> <B><IMG SRC="29c66c3b0.gif" border=0 width="108" height="59" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> <B><IMG SRC="29c7b8d10.gif" border=0 width="696" height="209" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="3"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <div> <B><IMG SRC="29c8743b0.gif" border=0 width="116" height="59" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> <B><IMG SRC="29cae5c90.gif" border=0 width="741" height="201" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="4"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <div> <B><IMG SRC="29cb713b0.gif" border=0 width="113" height="59" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> <B><IMG SRC="29cddbc90.gif" border=0 width="731" height="201" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="5"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <div> <IMG SRC="29ce89380.gif" border=0 width="137" height="56" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <B><IMG SRC="29d0288f0.gif" border=0 width="552" height="143" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="6"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <div> <B><IMG SRC="29d183380.gif" border=0 width="131" height="56" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> <B><IMG SRC="29d359c90.gif" border=0 width="601" height="201" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="7"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <div> <B><IMG SRC="29d50c380.gif" border=0 width="268" height="56" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> <B><IMG SRC="29d4dcc70.gif" border=0 width="732" height="199" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div>  <A NAME="8_"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <div> <B><IMG SRC="29d805340.gif" border=0 width="773" height="52" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="29dad9c90.gif" border=0 width="217" height="201" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"><FONT SIZE="4" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT></div> <div> <IMG SRC="29d999590.gif" border=0 width="921" height="601" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="9_"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <div> <IMG SRC="29dd21310.gif" border=0 width="801" height="49" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="205d2ffb0.gif" border=0 width="303" height="251" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="29dc8dbf0.gif" border=0 width="909" height="447" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="10"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <div> <IMG SRC="29e06c450.gif" border=0 width="876" height="69" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="29defcce0.gif" border=0 width="252" height="206" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="29e41dac0.gif" border=0 width="797" height="684" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div>  <A NAME="11"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></div> <div> <B><IMG SRC="29e64b340.gif" border=0 width="843" height="52" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> <B><IMG SRC="29e991370.gif" border=0 width="913" height="823" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> <B><IMG SRC="29ea54070.gif" border=0 width="852" height="519" ALT="MathType 6.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:336px;height:280px" data-ad-client="ca-pub-6266400581769473" data-ad-slot="1163033713"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <div>  <A NAME="calculo_integral"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A>calculo integral</div> <div> | <A HREF="id538.htm" TARGET="_top" TITLE="Antiderivación"><U>Antiderivación</U></A> | <A HREF="id457.htm" TARGET="_top" TITLE="Área"><U>Área</U></A> | <A HREF="id458.htm" TARGET="_top" TITLE="La integral definida"><U>La integral definida</U></A> | <A HREF="id459.htm" TARGET="_top" TITLE="Propiedades de la integral definida"><U>Propiedades de la integral definida</U></A> |</div> <div> | <A HREF="id460.htm" TARGET="_top" TITLE="Teorema del valor medio para la integral"><U>Teorema del valor medio para la integral definida</U></A> | <A HREF="id461.htm" TARGET="_top" TITLE="Teoremas fundamentales del cálculo"><U>Teoremas fundamentales del cálculo</U></A> |</div> <div> | <A HREF="id462.htm" TARGET="_top" TITLE="Aplicaciones de la integral definida"><U>Aplicaciones de la integral definida</U></A> |</div> <div> | <A HREF="id466.htm" TARGET="_top" TITLE="Técnicas de integración"><U>Técnicas de integración</U></A> | <A HREF="id483.htm" TARGET="_top" TITLE="Tabla de integrales"><U>Tablas de integrales</U></A> | <A HREF="id484.htm" TARGET="_top" TITLE="Integración numérica"><U>Integración numérica</U></A> | <A HREF="id485.htm" TARGET="_top" TITLE="Integrales impropias"><U>Integrales impropias</U></A> |</div> <div> | <A HREF="id486.htm" TARGET="_top" TITLE="Miscelánea de ejercicios de cálculo inte"><U>Miscelánea1 de ejercicios de cálculo integral</U></A> |</div> <bR> </td> </tr></table></body>