Teorema de Rolle y Teorema del Valor medio

<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B>C á l c u l o   2 1</B><FONT SIZE="4" COLOR="#FFCC66" FACE="Bell MT" ><B> </B></FONT><FONT SIZE="4" COLOR="#FFFFCC" FACE="Bell MT" >   </FONT><B>  </B>|   <A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="Cálculo 21"><U>Home</U></A>  |  <A HREF="id98.htm" TARGET="_top" TITLE="Contenido"><U>Contenido</U></A>  |  <A HREF="id307.htm" TARGET="_top" TITLE="Introducción al cálculo diferencial"><U>Cálculo diferencial</U></A>  |</div> <bR> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" rowspan="2" width=160 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> <B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700c800660000.gif" HEIGHT="13" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0"> <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:inline-block;width:160px;height:600px" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3073775660"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </B></div> </td> <td valign="top" height=432 colspan=2 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <div> Teorema de Rolle y Teorema del Valor medio</div> <bR> <div>  <script async src="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js"></script>  <ins class="adsbygoogle" style="display:block" data-ad-client="ca-pub-1578463498418701" data-ad-slot="3926688482" data-ad-format="auto" data-full-width-responsive="true"></ins> <script> (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); </script>  </div> <bR> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="402" BORDERCOLORLIGHT="#009966" BORDERCOLORDARK="#0099FF" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCCB2 HEIGHT= 132 ><NOBR><div>  <A NAME="teorema_de_rolle_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>Teorema de Rolle:</B></FONT></div> <div> Si  <I>f</I>  es una función en la que se cumple:</div> <div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" >i</FONT>)    <I>f</I>  es continua en el intervalo cerrado [<I>a</I>, <I>b</I>]</div> <div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" >ii</FONT>)   <I>f</I>  es diferenciable en el intervalo abierto (<I>a</I>, <I>b</I>)</div> <div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" >iii</FONT>)  <I>f</I> (<I>a</I>) = 0  y  <I>f </I>(<I>b</I>) = 0</div> <div> Entonces, existe un número <I>c</I> que pertenece a (<I>a</I>, <I>b</I>) tal que </div> <div> <I>f</I> '(<I>c</I>) = 0</div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <B>E</B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >l Teorema de Rolle se atribuye al matemático francés Michel Rolle (1652-1719).</FONT></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="629" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 182 WIDTH="304"><div> En la figura de la derecha se ilustra la interpretación geométrica del Teorema de Rolle. Como se puede observar se cumplen las tres condiciones que requiere el Teorema:  <I>f</I>  es continua en [<I>a</I>, <I>b</I>] e integrable en (<I>a</I>, <I>b</I>), y  </div> <div> <I> f </I>(<I>a</I>) = <I>f</I> (<I>b</I>) = 0. También se puede observar el punto (cuya abscisa es <I>c</I>) donde la recta tangente a la gráfica de <I>f </I>es paralela al eje<I>x</I>, es decir donde se cumple que  <I>f </I>'(c) = 0.</div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1ef42caf0.gif" border=0 width="300" height="175" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 178 ><NOBR><div> <IMG SRC="1ef52fab0.gif" border=0 width="303" height="171" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="318"><div> El Teorema de Rolle es susceptible de una modificación en su enunciado que no altera para nada la conclusión del mismo. Esta se refiere al punto (iii)  <I>f</I> (<I>a</I>) =  <I>f </I>(<I>b</I>): basta con que el valor de la función sea el mismo para <I>x</I> = <I>a</I>  y  <I>x</I> = <I>b</I>  y  no necesariamente sean iguales a cero. En la figura de la izquierda se ilustra este hecho.</div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="402" BORDERCOLORLIGHT="#009966" BORDERCOLORDARK="#0099FF" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP BGCOLOR=#FFCCB2 HEIGHT= 146 ><NOBR><div>  <A NAME="teorema_del_valor_medio_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B>Teorema del Valor medio:</B></FONT></div> <div> Si  <I>f</I>  es una función en la que se cumple que:</div> <div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" >i</FONT>)    <I>f</I>  es continua en el intervalo cerrado [<I>a</I>, <I>b</I>]</div> <div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" >ii</FONT>)   <I>f</I>  es diferenciable en el intervalo abierto (<I>a</I>, <I>b</I>)</div> <div> Entonces, existe un número <I>c</I> que pertenece a (<I>a</I>, <I>b</I>) tal que </div> <div> <I><IMG SRC="1f2c79300.gif" border=0 width="121" height="48" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></I></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="603" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 223 ><NOBR><div> <IMG SRC="1ef722d80.gif" border=0 width="290" height="216" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="298"><div> A la izquierda se observa una ilustración de la interpretación geométrica del Teorema del Valor medio. </div> <div> El teorema afirma que si la función es continua en [<I>a</I>,<I>b</I>] y diferenciable en (<I>a</I>,<I>b</I>), existe un punto <I>c</I> en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B. Esto es, </div> <div> <IMG SRC="1ef8012d0.gif" border=0 width="257" height="45" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> </tR> </TABLE></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="624" BORDERCOLORLIGHT="#006600" BORDERCOLORDARK="#009900" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 BGCOLOR=#FFCC99 HEIGHT= 248 WIDTH="612"><div>  <A NAME="ejercicios_resueltos"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>Ejercicios resueltos</B></FONT></div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#996600" FACE="Times New Roman" ><B>E</B></FONT>n los ejercicios <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >1</FONT> a <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >3</FONT>, verifique que las condiciones (i), (ii) y (iii) de la hipótesis del Teorema de Rolle se cumplen para la función indicada en el intervalo dado. Luego halle un valor adecuado para <I>c</I> que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle.</div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#996600" FACE="Times New Roman" ><B>E</B></FONT>n los ejercicios <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >4</FONT> a <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >9</FONT>, compruebe que la hipótesis del Teorema del Valor medio se cumple para la función dada en el intervalo indicado. Luego halle un valor adecuado para <I>c</I> que cumpla la conclusión del Teorema del valor medio.</div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#996600" FACE="Times New Roman" ><B>E</B></FONT>n los ejercicios <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >10</FONT> a <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >12</FONT>, (<FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >a</FONT>) trace la gráfica de la función dada en el intervalo indicado; (<FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >b</FONT>) compruebe las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle y determine cuáles se cumplen y cuáles, de haberlas, no se cumplen; (<FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >c</FONT>) si las tres condiciones se cumplen, determine un punto por el cual pase una recta tangente horizantal.</div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#996600" FACE="Times New Roman" ><B>E</B></FONT>n los ejercicios <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >13</FONT> y <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >14</FONT>, calcule un valor de <I>c</I> que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio, trace la gráfica de la función y la recta que pasa por los puntos (<I>a</I>, <I>f</I>(<I>a</I>))  y  (<I>b</I>, <I>f</I>(<I>b</I>)).</div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 34 ><NOBR><div> <A HREF="#1" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1ef9b1180.gif" border=0 width="177" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#2" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1efaa71b0.gif" border=0 width="167" height="27" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#3_1" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1efbbc1b0.gif" border=0 width="188" height="27" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 34 ><NOBR><div> <A HREF="#4" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1efcb71b0.gif" border=0 width="183" height="27" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#5" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1efdc11b0.gif" border=0 width="193" height="27" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#6" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1efe8d1b0.gif" border=0 width="141" height="27" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 35 ><NOBR><div> <A HREF="#7_2" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1effc41c0.gif" border=0 width="196" height="28" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 WIDTH="411"><div> <A HREF="#8" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1f00db1c0.gif" border=0 width="219" height="28" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 50 ><NOBR><div> <A HREF="#9" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1f01a92b0.gif" border=0 width="169" height="43" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#10" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1f02c51b0.gif" border=0 width="197" height="27" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#11" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1f03d02b0.gif" border=0 width="208" height="43" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 58 WIDTH="399"><div> <A HREF="#12_1" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1f0409330.gif" border=0 width="265" height="51" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#13" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1f05b5180.gif" border=0 width="181" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 HEIGHT= 34 WIDTH="612"><div> <A HREF="#14" TITLE="Teorema de Rolle y Teorema del Valor med"><U><IMG SRC="1f06d31b0.gif" border=0 width="211" height="27" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> </TABLE></div> <div> <B>S o l u c i o n e s</B></div> <div> <B> <A NAME="1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f0779480.gif" border=0 width="633" height="72" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <IMG SRC="1f0839c00.gif" border=0 width="569" height="192" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f09a7330.gif" border=0 width="167" height="51" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <IMG SRC="1f0a6b300.gif" border=0 width="619" height="304" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="3_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f0bbc330.gif" border=0 width="188" height="51" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <IMG SRC="1f0c60530.gif" border=0 width="608" height="339" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="4"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f0db7330.gif" border=0 width="183" height="51" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <IMG SRC="1f0e67130.gif" border=0 width="615" height="275" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="5"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f0fc1330.gif" border=0 width="193" height="51" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <IMG SRC="1f1048880.gif" border=0 width="584" height="392" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="6"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f118d330.gif" border=0 width="141" height="51" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <IMG SRC="1f127c5d0.gif" border=0 width="636" height="349" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="7_2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f13c4330.gif" border=0 width="196" height="51" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <IMG SRC="1f147ba50.gif" border=0 width="635" height="421" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="8"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f15db330.gif" border=0 width="219" height="51" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <IMG SRC="1f1681530.gif" border=0 width="641" height="339" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="9"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f17a9430.gif" border=0 width="169" height="67" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <IMG SRC="1f187c650.gif" border=0 width="636" height="357" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="10"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f19c5330.gif" border=0 width="197" height="51" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="622" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 215 ><NOBR><div> <IMG SRC="1f1af8d00.gif" border=0 width="248" height="208" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="307"><div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >a</FONT>)<IMG SRC="1f1b2bb90.gif" border=0 width="299" height="185" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 191 ><NOBR><div> <IMG SRC="1f1c48b80.gif" border=0 width="584" height="184" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <B> <A NAME="11"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f1dd0430.gif" border=0 width="208" height="67" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="631" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 430 ><NOBR><div> <IMG SRC="1f1e31610.gif" border=0 width="305" height="97" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <IMG SRC="1f1f13430.gif" border=0 width="275" height="323" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1f203b0b0.gif" border=0 width="315" height="267" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <div> <B> <A NAME="12_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f21094b0.gif" border=0 width="265" height="75" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="626" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 241 WIDTH="263"><div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >a</FONT>)<IMG SRC="1f22ffd90.gif" border=0 width="255" height="217" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1f230fd30.gif" border=0 width="271" height="211" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 194 ><NOBR><div> <IMG SRC="1f24f7bb0.gif" border=0 width="503" height="187" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <B> <A NAME="13"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f25b5300.gif" border=0 width="181" height="48" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="615" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 334 ><NOBR><div> <IMG SRC="1f263f470.gif" border=0 width="319" height="327" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1f271b0c0.gif" border=0 width="283" height="268" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> <B> <A NAME="14"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" ><IMG SRC="1f28d4400.gif" border=0 width="212" height="64" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></FONT></div> <div> <TABLE BORDER="0" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="600" BORDERCOLORLIGHT="#C0C0C0" BORDERCOLORDARK="#808080" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 195 ><NOBR><div> <IMG SRC="1f290cbc0.gif" border=0 width="268" height="188" ALT="Imagen de mapa de bits" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1f2a38b80.gif" border=0 width="312" height="184" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 134 ><NOBR><div> <IMG SRC="1f2b207f0.gif" border=0 width="544" height="127" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <bR> <bR> </td> </tr><tr> <td valign="top" colspan=2 height=24 BGCOLOR="#006666" TEXT="#080000"> <div> <B> <form action="http://www.google.com.co" id="cse-search-box" target="_blank"> <div> <input type="hidden" name="cx" value="partner-pub-6266400581769473:4577786115" /> <input type="hidden" name="ie" value="UTF-8" /> <input type="text" name="q" size="100" /> <input type="submit" name="sa" value="Buscar" /> </div> </form> <script type="text/javascript" src="http://www.google.com.co/coop/cse/brand?form=cse-search-box&lang=es"></script>  </B></div> </td> </tr></table></body>